动画

L20

动画

关键帧动画

物理模拟

质点弹簧系统

绳子，布料模拟可用

质点弹簧模型的阻尼公式：

B 点和 A 点，分别指的是 B 和 A 的一阶导数。

向量相减和向量的方向无关。和他们是否在一条直线上无关，换算成坐标相减即可，三维与二维同理。

图中进行了两次点积操作

分解相对速度，只有在 AB 方向上的速度才会引起弹簧的改变

模拟布料

粒子模拟

IK FK

正向运动学

逆运动学

难解

解不唯一 多解、无解

通过梯度和数值迭代的方法去取最优解

L22

动画仿真核心

计算粒子随时间变化的位置，本质上是求解一个一阶常微分方程

X位置

t时间

v（x，t）速度场

常微分：

给定起始位置，就可以求它在任意时刻的位置

思路：

目的：一定时间之后，点的位置在哪？

方法：把时间分成小块，计算 t 加 🔺 t 的位置，重复此过程的结果

每一步考虑的步长叫 🔺t

前向欧拉方法：

X 右上角的 T 就指的是在 T 时刻的 X

步长越小，模拟的越精确

稳定性：不稳定的原因是在速度场中的等速度线中，粒子在等速度线 中穿梭时，由于在螺旋线等曲线的局部性质，和时间无法进行匹配，导致采样率 和真实情况匹配不上，从而不能按照预定轨迹来推算出粒子运动

步长小只能降低误差，但是解决不了稳定性的问题

如下：

不稳定性的解决办法：

1.中点法：在两次速度采样中计算平均值

从直线校正为了曲线，因为他们的终点 B 在上面，也避免了 a 错误

2.中点法的第二种解决方法也叫自适应步长：

现在不是第一次欧拉方法加中点方法等于结果了，而是根据终点误差估计，动态调整步长大小，在终点位置上重新估计的方法。不同于之前的相加。

如下

3.隐式/反向欧拉方法：

这里的 t 和 🔺 t 都是未来的

牛顿法

方法稳定性的程度，龙格库塔方法大于中点法，大于显性欧拉法

龙格库塔方法：RK4，适合处理非线性问题

数值分析课程内容

刚体

流体模拟

质点法

网格法